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等额本息计算公式推导

      

  等额本息计算公式推导,等额本息还款法即把按揭贷款的本金总额与利息总额相加,然后平均分摊到还款期限的每个月中,每个月的还款额是固定的,但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。

 

  等额本息计算公式推导

  等额本息是买房按揭贷款时最常用的一种还款方式,其意义从字面就可以理解,就是每期还款的本金加利息之和相等。我们在计算每期应还本金和利息时,在Excel中可以方便的使用函数PMT(rate,nper,pv)计算每期本金利息和;PPMT(rate,per,nper,pv)计算每期本金(rate为还款周期利率,per为还款期次,nper为还款总期数,pv为贷款总额)。

  函数很好用,但总觉得不够直观,我们看不到从本金、利率、期数算出结果的过程。其实通过在高等数学中的等比序列知识,不难把计算公式推导出来。下面为推导过程:

  等额本息还款公式推导

  设贷款还款方式为等额本息(按月还)。P为整笔贷款本金,M为贷款总月数(期供总数),R为月利率,V为每期应还本金利息和;Pn为第n期应还本金,Vn为第n期应还本息和。有:

  第1期应还本息和 = P1+(P1+P2+...+PM)*R

  第2期应还本息和 = P2+(P2+P3+...+PM)*R

  第3期应还本息和 = P3+(P3+P4+...+PM)*R

  ...

  第M期应还本息和 = PM+PM*R

  第一步推论:Pn=P1*(1+R)^(n-1)

  按照等额本息的定义,每期应还本金和利息总和相等。则有:

  V1=V2=V3=V

  由V1=V2,

  P1+(P1+P2+...+PM)*R = P2+(P2+P3+...+PM)*R

  =》P1+P1*R+(P2+P3+...+PM)*R = P2+(P2+P3+...+PM)*R

  =》P1+P1*R = P2

  =》 P2 = P1*(1+R)

  同理,由V2=V3,

  =》 P3 = P2*(1+R) = P1*(1+R)^2

  由V(n-1)=Vn,

  =》 Pn = P1*(1+R)^(n-1)

  第二步推论:P1=P*R/((1+R)^M-1)

  再由P=P1+P2+...+PM推导,得:

  P = P1+P2+...+PM = P1+P1*(1+R)+P1*(1+R)^2+...+P1*(1+R)^(M-1)

  注意上述公式是一个等比序列求和问题。先复习下等比序列基础知识:

  有数列 a1,a2,a3,...,an,...

  如果a2/a1=a3/a2=...=an/a(n-1)=...=q,q≠0,则这个数列为等比数列。

  等比数列求和公式:

  Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

  结合等比数列求和公式,此处q=1+R, n=M,得

  P = P1+P2+...+PM = P1+P1*(1+R)+P1*(1+R)^2+...+P1*(1+R)^(M-1)

  = P1*(1-(1+R)^M)/(1-(1+R))

  = P1*((1+R)^M-1)/R

  求P1,得:

  P1=P*R/((1+R)^M-1)

  第三步:结论

  由第二步P1公式,代入Pn=P1*(1+R)^(n-1),得:

  Pn=P*R*(1+R)^(n-1)/((1+R)^M-1)

  这就是每期应还的本金。每期应还的本息和为:

  V=V1

  =P1+P*R

  = P*R/((1+R)^M-1)+P*R

  = P*R*(1/((1+R)^M-1) + 1)

  = P*R*(1+R)^M/((1+R)^M-1)

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